まず、大前提として、
Google Search Console
https://www.google.com/webmasters/tools/home?hl=ja

Google アナリティクス
https://analytics.google.com/analytics/web/


それ以外に、使えるツールをピックアップ。

モバイルに最適化されているのかを検証するなら
旧モバイル フレンドリー テスト
https://www.google.com/webmasters/tools/mobile-friendly/?hl=ja
新モバイル フレンドリー テスト
https://search.google.com/search-console/mobile-friendly?&hl=ja-JP

ページの表示スピードを検証するなら
PageSpeed Insights
https://developers.google.com/speed/pagespeed/insights/

レスポンシブ設計（設定）を検証するなら
Responsive Checker
http://html5-lab.jp/checker/